Matura podstawowa z matematyki lipiec 2020: arkusz + PDF

Równość \(2+a=\frac{9a}{2a+1}\) jest prawdziwa, gdy

Wybierz odpowiedź:

A. \(a=-2\)

B. \(a=-1\)

C. \(a=1\)

D. \(a=2\)

Liczba \(1-(2^7-1)^2\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(-2^{14}\)

B. \(2^8-2^{14}\)

C. \(2-2^{14}\)

D. \(-2^{14}-2\cdot2^{7}+2\)

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}4^8\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(32\)

D. \(16\)

Masę Słońca równą \(1.989\cdot10^{30}\) kg przybliżono do \(2\cdot10^{30}\) kg. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(0.0011\cdot10^{30}\) kg

B. \(1.1\cdot10^{30}\) kg

C. \(0.11\cdot10^{30}\) kg

D. \(0.011\cdot10^{30}\) kg

Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{1}{6}-x\ge\frac{2}{3}x+4\) jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(-3\)

B. \(-2\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Równanie \(\frac{1-x}{x}=2x\) w zbiorze liczb całkowitych

Wybierz odpowiedź:

A. nie ma żadnego rozwiązania.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania.

Boki trójkąta \(ABC\) są zawarte w prostych o równaniach \(y=\frac{2}{3}x+2\) i \(y=-x+2\) oraz osi \(Ox\) układu współrzędnych (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(10\)

B. \(\frac{5}{2}\)

C. \(5\)

D. \(\frac{3}{2}\)

Punkt \(P=(-3,7)\) leży na wykresie funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=(2m-1)x+5\). Zatem

Wybierz odpowiedź:

A. \(m=\frac{1}{6}\)

B. \(m=-\frac{1}{6}\)

C. \(m=\frac{5}{6}\)

D. \(m=-\frac{5}{6}\)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-x^2+6x+4\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \((3,q)\). Liczba \(q\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(4\)

B. \(7\)

C. \(9\)

D. \(13\)

Funkcja \(f\) każdej liczbie naturalnej \(n\ge1\) przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez \(4\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(\{0,1,2,3\}\)

B. \(\{1,2,3,4\}\)

C. \(\{0,1,2,3,4\}\)

D. \(\{0,2\}\)

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Kliknij, aby powiększyć

Stąd wynika, że

Wybierz odpowiedź:

A. \(\begin{cases}a<0 \\ b<0\end{cases}\)

B. \(\begin{cases}a<0 \\ b>0\end{cases}\)

C. \(\begin{cases}a>0 \\ b<0\end{cases}\)

D. \(\begin{cases}a>0 \\ b>0\end{cases}\)

Proste o równaniach \(y=(m-2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są prostopadłe. Wtedy

Wybierz odpowiedź:

A. \(m=-\frac{5}{4}\)

B. \(m=\frac{2}{3}\)

C. \(m=\frac{11}{4}\)

D. \(m=\frac{10}{3}\)

Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(a_{4}=2020\). Suma \(a_{2}+a_{6}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(505\)

B. \(1010\)

C. \(2020\)

D. \(4040\)

Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) oraz \(a_{2}=6\ \) i \(\ a_{5}=-48\). Wynika stąd, że

Wybierz odpowiedź:

A. \(a_{7}> 0\)

B. \(a_{7}< 0\)

C. \(a_{7}> a_{6}\)

D. \(a_{7}> a_{8}\)

Punkty \(A=(80,-1)\) i \(B=(-6,-19)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(ABC\). W tym trójkącie kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych

Wybierz odpowiedź:

A. \((43,-10)\)

B. \((37,10)\)

C. \((43,10)\)

D. \((37,-10)\)

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) są dane długości boków: \(|AB|=8\), \(|BC|=5\), \(|DC|=5\), \(|AD|=4\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Tangens kąta ostrego \(ABC\) w tym trapezie jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{4}{3}\)

B. \(\frac{4}{5}\)

C. \(\frac{3}{4}\)

D. \(\frac{3}{5}\)

Punkty \(A=(1,-2)\) i \(C=(0,5)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Obwód tego kwadratu jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(12\)

B. \(20\)

C. \(28\)

D. \(48\)

Pole trójkąta równoramiennego jest równe \(25\sqrt{2}\). Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa \(45\degree\). Każde z ramion tego trójkąta ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. \(10\sqrt{2}\)

B. \(5\sqrt{2}\)

C. \(5\)

D. \(10\)

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym przyprostokątna \(BC\) ma długość \(250\) cm, a przyprostokątna \(AC\) ma długość \(91\) cm. Miara \(\beta\) kąta \(ABC\) spełnia warunek

Wybierz odpowiedź:

A. \(19\degree < \beta < 21\degree\)

B. \(21\degree < \beta < 23\degree\)

C. \(67\degree < \beta < 69\degree\)

D. \(69\degree < \beta < 71\degree\)

Tworząca stożka jest o \(2\) dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o \(2\pi\) większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\)

B. \(2\pi\)

C. \(1\)

D. \(\pi\)

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równa \(144\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(18\)

B. \(36\)

C. \(3\)

D. \(6\)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku \(2\). Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze \(60\degree\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

B. \(4\sqrt{2}\)

C. \(\frac{\sqrt{6}}{4}\)

D. \(2\sqrt{6}\)

Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od \(4\), a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od \(6\), jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(4\cdot4\cdot5\cdot5\)

B. \(5\cdot4\cdot6\cdot5\)

C. \(5\cdot5\cdot6\cdot6\)

D. \(4\cdot3\cdot5\cdot4\)

Wariancją zestawu czterech ocen z matematyki: \(1,3,5,3\) jest liczba

Wybierz odpowiedź:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(5\)

W urnie jest \(9\) kul, w tym cztery kule czerwone, trzy zielone i dwie kule białe. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że nie wylosowano ani kuli zielonej, ani białej, jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{4}{5}\)

B. \(\frac{4}{9}\)

C. \(\frac{5}{9}\)

D. \(\frac{6}{9}\)

Rozwiąż nierówność \((2x+5)(3x-1)\ge0\).

Dane są liczby \(a=3\log_{2}12-\log_{2}27\ \) i \(\ b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunek \(a<4\) i \(b<4\), to \(ab+16\gt4a+4b\).

Bok \(AB\) jest średnicą, a punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\). Punkt \(D\) leży na tym okręgu, a odcinek \(SD\) zawarty jest w symetralnej boku \(BC\) trójkąta (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że odcinek \(AD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta \(CAB\).

Dany jest trzywyrazowy ciąg \((x+2, 4x+2, x+11)\). Oblicz te wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.

Prosta \(k\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \(k\).

Punkty \(A=(1,-1)\), \(B=(6,1)\), \(C=(7,5)\) i \(D=(2,4)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na tym, że liczba otrzymanych orłów będzie różna od liczby otrzymanych reszek.

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym \(ABCDEFS\), którego krawędź podstawy \(a\) ma długość \(8\) (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha=60\degree\). Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

Kliknij, aby powiększyć

Równość \(2+a=\frac{9a}{2a+1}\) jest prawdziwa, gdy

Wybierz odpowiedź:

A. \(a=-2\)

B. \(a=-1\)

C. \(a=1\)

D. \(a=2\)

Liczba \(1-(2^7-1)^2\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(-2^{14}\)

B. \(2^8-2^{14}\)

C. \(2-2^{14}\)

D. \(-2^{14}-2\cdot2^{7}+2\)

Liczba \(\log_{\sqrt{2}}4^8\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(32\)

D. \(16\)

Masę Słońca równą \(1.989\cdot10^{30}\) kg przybliżono do \(2\cdot10^{30}\) kg. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(0.0011\cdot10^{30}\) kg

B. \(1.1\cdot10^{30}\) kg

C. \(0.11\cdot10^{30}\) kg

D. \(0.011\cdot10^{30}\) kg

Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{1}{6}-x\ge\frac{2}{3}x+4\) jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(-3\)

B. \(-2\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Równanie \(\frac{1-x}{x}=2x\) w zbiorze liczb całkowitych

Wybierz odpowiedź:

A. nie ma żadnego rozwiązania.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania.

Boki trójkąta \(ABC\) są zawarte w prostych o równaniach \(y=\frac{2}{3}x+2\) i \(y=-x+2\) oraz osi \(Ox\) układu współrzędnych (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Pole trójkąta \(ABC\) jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(10\)

B. \(\frac{5}{2}\)

C. \(5\)

D. \(\frac{3}{2}\)

Punkt \(P=(-3,7)\) leży na wykresie funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=(2m-1)x+5\). Zatem

Wybierz odpowiedź:

A. \(m=\frac{1}{6}\)

B. \(m=-\frac{1}{6}\)

C. \(m=\frac{5}{6}\)

D. \(m=-\frac{5}{6}\)

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-x^2+6x+4\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \((3,q)\). Liczba \(q\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(4\)

B. \(7\)

C. \(9\)

D. \(13\)

Funkcja \(f\) każdej liczbie naturalnej \(n\ge1\) przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez \(4\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(\{0,1,2,3\}\)

B. \(\{1,2,3,4\}\)

C. \(\{0,1,2,3,4\}\)

D. \(\{0,2\}\)

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).

Kliknij, aby powiększyć

Stąd wynika, że

Wybierz odpowiedź:

A. \(\begin{cases}a<0 \\ b<0\end{cases}\)

B. \(\begin{cases}a<0 \\ b>0\end{cases}\)

C. \(\begin{cases}a>0 \\ b<0\end{cases}\)

D. \(\begin{cases}a>0 \\ b>0\end{cases}\)

Proste o równaniach \(y=(m-2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są prostopadłe. Wtedy

Wybierz odpowiedź:

A. \(m=-\frac{5}{4}\)

B. \(m=\frac{2}{3}\)

C. \(m=\frac{11}{4}\)

D. \(m=\frac{10}{3}\)

Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(a_{4}=2020\). Suma \(a_{2}+a_{6}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(505\)

B. \(1010\)

C. \(2020\)

D. \(4040\)

Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) oraz \(a_{2}=6\ \) i \(\ a_{5}=-48\). Wynika stąd, że

Wybierz odpowiedź:

A. \(a_{7}> 0\)

B. \(a_{7}< 0\)

C. \(a_{7}> a_{6}\)

D. \(a_{7}> a_{8}\)

Wybierz odpowiedź:

A. \((43,-10)\)

B. \((37,10)\)

C. \((43,10)\)

D. \((37,-10)\)

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) są dane długości boków: \(|AB|=8\), \(|BC|=5\), \(|DC|=5\), \(|AD|=4\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Tangens kąta ostrego \(ABC\) w tym trapezie jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{4}{3}\)

B. \(\frac{4}{5}\)

C. \(\frac{3}{4}\)

D. \(\frac{3}{5}\)

Punkty \(A=(1,-2)\) i \(C=(0,5)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Obwód tego kwadratu jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(12\)

B. \(20\)

C. \(28\)

D. \(48\)

Pole trójkąta równoramiennego jest równe \(25\sqrt{2}\). Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa \(45\degree\). Każde z ramion tego trójkąta ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. \(10\sqrt{2}\)

B. \(5\sqrt{2}\)

C. \(5\)

D. \(10\)

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym przyprostokątna \(BC\) ma długość \(250\) cm, a przyprostokątna \(AC\) ma długość \(91\) cm. Miara \(\beta\) kąta \(ABC\) spełnia warunek

Wybierz odpowiedź:

A. \(19\degree < \beta < 21\degree\)

B. \(21\degree < \beta < 23\degree\)

C. \(67\degree < \beta < 69\degree\)

D. \(69\degree < \beta < 71\degree\)

Tworząca stożka jest o \(2\) dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o \(2\pi\) większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\)

B. \(2\pi\)

C. \(1\)

D. \(\pi\)

Wybierz odpowiedź:

A. \(18\)

B. \(36\)

C. \(3\)

D. \(6\)

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku \(2\). Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze \(60\degree\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

B. \(4\sqrt{2}\)

C. \(\frac{\sqrt{6}}{4}\)

D. \(2\sqrt{6}\)

Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od \(4\), a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od \(6\), jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(4\cdot4\cdot5\cdot5\)

B. \(5\cdot4\cdot6\cdot5\)

C. \(5\cdot5\cdot6\cdot6\)

D. \(4\cdot3\cdot5\cdot4\)

Wariancją zestawu czterech ocen z matematyki: \(1,3,5,3\) jest liczba

Wybierz odpowiedź:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(5\)

W urnie jest \(9\) kul, w tym cztery kule czerwone, trzy zielone i dwie kule białe. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że nie wylosowano ani kuli zielonej, ani białej, jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{4}{5}\)

B. \(\frac{4}{9}\)

C. \(\frac{5}{9}\)

D. \(\frac{6}{9}\)

Rozwiąż nierówność \((2x+5)(3x-1)\ge0\).

Dane są liczby \(a=3\log_{2}12-\log_{2}27\ \) i \(\ b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\) spełniają warunek \(a<4\) i \(b<4\), to \(ab+16\gt4a+4b\).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że odcinek \(AD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta \(CAB\).

Dany jest trzywyrazowy ciąg \((x+2, 4x+2, x+11)\). Oblicz te wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.

Prosta \(k\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \(k\).

Punkty \(A=(1,-1)\), \(B=(6,1)\), \(C=(7,5)\) i \(D=(2,4)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na tym, że liczba otrzymanych orłów będzie różna od liczby otrzymanych reszek.

Kliknij, aby powiększyć

Matura podstawowa matematyka lipiec 2020: interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 33

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 34

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Odpowiedzi