Matura podstawowa z matematyki czerwiec 2026: arkusz + PDF

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\dfrac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-2)\)

B. \(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

C. \(\frac{1}{2}\)

D. \(2\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\dfrac{9^{4}}{3^{-20}}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(9^{-24}\)

B. \(9^{-6}\)

C. \(9^{14}\)

D. \(9^{56}\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{5} \sqrt[3]{25}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{6}\)

B. \(\frac{2}{3}\)

C. \(\frac{3}{2}\)

D. \(6\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \(x^{3} - 2x^{2} + x\) jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. \(x(x - 1)^{2}\)

B. \(x(x - 1)(x + 1)\)

C. \((x - 1)(x^{2} + 1)\)

D. \((x + 1)(x - 1)^{2}\)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n \geq 0\) liczba \(7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2}\) jest podzielna przez 19.

Dane są wielomiany \(W\), \(V\) oraz \(H\) określone wzorami:

\(W(x) = x^{4}\) \(V(x) = x^{3} + 1\) \(H(x) = x - 2\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielomian \(W(x) - V(x) \cdot H(x)\) jest określony wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. \(2x^{3} - x + 2\)

B. \(2x^{3} + x - 2\)

C. \(x^{4} - x^{3} + x - 2\)

D. \(x^{4} - x^{3} - x + 2\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\(-2(x + 3)(x - 2) > 0\)

jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. \([-3, 2]\)

B. \((-3, 2)\)

C. \([-2, 3]\)

D. \((-2, 3)\)

Dane jest równanie

\(\dfrac{3x + 4}{x - 1} = \dfrac{x + 3}{3x}\), \(\ \) gdzie \(\ x \ne 0\ \) i \(\ x \ne 1\).

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału \(\left(-\infty, -\frac{2}{3}\right)\).

Zapisz obliczenia.

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest \(198\). Gdyby w tym parku rosło o \(18\) drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam \(3\) razy więcej niż drzew iglastych.

Przyjmijmy następujące oznaczenia: \(x\) - liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim, \(y\) - liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew iglastych oraz liczby \(y\) drzew liściastych, jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(\begin{cases} x + y = 198 \\ x + 18 = 3y \end{cases}\)

B. \(\begin{cases} x + y = 198 \\ 3x + 18 = y \end{cases}\)

C. \(\begin{cases} x + y = 198 \\ \frac{1}{3}x + 18 = y \end{cases}\)

D. \(\begin{cases} x + y = 198 \\ 3(x + 18) = y \end{cases}\)

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = 3x - 4\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja \(f\) jest rosnąca.

Prawda

Fałsz

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, 4)\).

Prawda

Fałsz

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = 2x^2 - kx + 6\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(k\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-11)\)

B. \((-7)\)

C. \(7\)

D. \(11\)

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\(f(x)= \begin{cases}\frac{4}{3} x+\frac{14}{3} & \text{ dla }\ x \in[-5,-2) \\ \frac{3}{4} x+\frac{3}{2} & \text{ dla }\ x \in[-2,2] \\ -3 x+9 & \text{ dla }\ x \in(2,4)\end{cases}\)

Wykres funkcji \(y = f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(\bold{1}\). \(\ \) Funkcja \(f\) ma dokładnie \(...............\) miejsca zerowe. \(\bold{2}\). \(\ \) Funkcja \(f\) osiąga największą wartość dla argumentu \(...............\) .

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\(f(x)= \begin{cases}\frac{4}{3} x+\frac{14}{3} & \text{ dla } x \in[-5,-2) \\ \frac{3}{4} x+\frac{3}{2} & \text{ dla } x \in[-2,2] \\ -3 x+9 & \text{ dla } x \in(2,4)\end{cases}\)

Wykres funkcji \(y = f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(\bold{1}\). \(\ \) Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(...............\) . \(\bold{2}\). \(\ \) Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział \(...............\) .

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W = (-3, 7)\).

Liczba \(t\) spełnia warunki: \(f(t) = f(-9)\) oraz \(t \ne -9\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(t\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\)

B. \(9\)

C. \(15\)

D. \(21\)

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W = (-3, 7)\).

Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) wzorem \(g(x) = f(x - 5)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g\) ma współrzędne

Wybierz odpowiedź:

A. \((-8, 7) \)

B. \((-3, 2)\)

C. \((-3, 12)\)

D. \((2, 7)\)

Ciąg \((a_{n})\) jest określony następująco:

\(\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n + 1} = a_n - 6 \end{cases}\ \) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \((-4)\)

B. \((-16)\)

C. \((-22)\)

D. \((-28)\)

Ciąg \((a_{n})\) jest określony następująco:

\(\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n + 1} = a_n - 6 \end{cases}\ \) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.

Prawda

Fałsz

Ciąg \((a_n)\) jest malejący.

Prawda

Fałsz

Czterowyrazowy ciąg \(\left(7, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(54\).

Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pięciowyrazowy ciąg \((a_1 , a_2 , 2 , a_4 , a_5)\) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn \(a_1 \cdot a_2 \cdot 2 \cdot a_4 \cdot a_5\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\)

B. \(16\)

C. \(32\)

D. \(64\)

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie \(\alpha\), że \(\sin \alpha=\frac{1}{4}\). Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość \(8\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(4\)

D. \(2\sqrt{15}\)

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu oraz \(|\measuredangle ABD| = 18\degree\). Punkt \(D\) leży na krótszym łuku \(CA\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(BCA\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(36\degree\)

B. \(60\degree\)

C. \(72\degree\)

D. \(81\degree\)

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie \(A\) przecięto dwiema prostymi równoległymi \(k\) oraz \(l\). Prosta \(k\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(B\) oraz \(C\). Prosta \(l\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(D\) oraz \(E\). Punkty \(B\) oraz \(D\) leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty \(C\) oraz \(E\) leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto \(|AB|=6\), \(|BC|=4\) oraz \(|BD|=2\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek \(DE\) ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{8}{3}\)

B. \(\frac{16}{3}\)

C. \(6\)

D. \(8\)

W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(BE\) jest środkową trójkąta \(ABC\), a odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki \(DB\) oraz \(DE\) mają równe długości (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że \(|\measuredangle CAB| = 2 \cdot |\measuredangle ABE|\).

Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze \(\alpha\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\left(-\frac{4}{5}\right)\)

B. \(\left(-\frac{3}{4}\right)\)

C. \(\frac{3}{4}\)

D. \(\frac{4}{5}\)

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(D = (6, 19)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \(y = \frac{1}{2}x + 9\), a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y = 4x - 5\). Punkt \(K = (10, 14)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S\).

Oblicz współrzędne punktu \(S\). Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (-3, 1)\) oraz \(B = (1, -3)\) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód kwadratu \(ABCD\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(4\sqrt{2}\)

B. \(16\sqrt{2}\)

C. \(16\)

D. \(32\)

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) odcinek o końcach \(A = (1, 1)\) oraz \(B = (3, -1)\) jest średnicą okręgu \(\mathcal{O}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem

Wybierz odpowiedź:

A. \((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 8\)

B. \(x^2 + (y - 2)^2 = 2\)

C. \((x - 2)^2 + y^2 = 2\)

D. \((x - 2)^2 + y^2 = 8\)

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość \(12\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\sqrt{3}\)

B. \(3\sqrt{2}\)

C. \(2\sqrt{6}\)

D. \(6\sqrt{2}\)

Tworząca stożka o promieniu podstawy \(3\) ma długość \(6\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.

Prawda

Fałsz

Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60\degree\).

Prawda

Fałsz

Odcinek \(AD\) jest wysokością walca, a odcinek \(AB\) jest średnicą podstawy walca. Odcinek \(BD\) ma długość \(4\sqrt{3}\). Miara kąta \(ABD\) jest równa \(30\degree\).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(400\)

B. \(500\)

C. \(900\)

D. \(1600\)

W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to \(9\) lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to \(13\) lat.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(10\)

B. \(10{,}5\)

C. \(11\)

D. \(11{,}5\)

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\)

B. \(3{,}5\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Dany jest sześcioelementowy zbiór \(K=\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}\). Ze zbioru \(K\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od \(16\). Zapisz obliczenia.

Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\).

Rozważamy wszystkie trójkąty \(DEF\) spełniające jednocześnie następujące warunki: \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\) punkt \(E\) leży na boku \(AB\) kwadratu \(ABCD\) \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\) punkt \(F\) leży na boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\) \(\ \ \ \ \scriptstyle\bullet\) \(|CF| = \frac{1}{2} \cdot |EB| = x\), gdzie \(x \in (0, 2)\) (zobacz rysunek).

Niech \(P(x)\) oznacza pole trójkąta \(DEF\) w zależności od długości \(x\) odcinka \(CF\).

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz wzór funkcji \(P\) zmiennej \(x\), gdzie \(x \in (0, 2)\). Oblicz długość \(x\) odcinka \(CF\), dla której pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\dfrac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-2)\)

B. \(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

C. \(\frac{1}{2}\)

D. \(2\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\dfrac{9^{4}}{3^{-20}}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(9^{-24}\)

B. \(9^{-6}\)

C. \(9^{14}\)

D. \(9^{56}\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(\log_{5} \sqrt[3]{25}\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{6}\)

B. \(\frac{2}{3}\)

C. \(\frac{3}{2}\)

D. \(6\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \(x^{3} - 2x^{2} + x\) jest równa wartości wyrażenia

Wybierz odpowiedź:

A. \(x(x - 1)^{2}\)

B. \(x(x - 1)(x + 1)\)

C. \((x - 1)(x^{2} + 1)\)

D. \((x + 1)(x - 1)^{2}\)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n \geq 0\) liczba \(7^{n} + 7^{n + 1} + 7^{n + 2}\) jest podzielna przez 19.

Dane są wielomiany \(W\), \(V\) oraz \(H\) określone wzorami:

\(W(x) = x^{4}\) \(V(x) = x^{3} + 1\) \(H(x) = x - 2\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielomian \(W(x) - V(x) \cdot H(x)\) jest określony wzorem

Wybierz odpowiedź:

A. \(2x^{3} - x + 2\)

B. \(2x^{3} + x - 2\)

C. \(x^{4} - x^{3} + x - 2\)

D. \(x^{4} - x^{3} - x + 2\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\(-2(x + 3)(x - 2) > 0\)

jest przedział

Wybierz odpowiedź:

A. \([-3, 2]\)

B. \((-3, 2)\)

C. \([-2, 3]\)

D. \((-2, 3)\)

Dane jest równanie

\(\dfrac{3x + 4}{x - 1} = \dfrac{x + 3}{3x}\), \(\ \) gdzie \(\ x \ne 0\ \) i \(\ x \ne 1\).

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału \(\left(-\infty, -\frac{2}{3}\right)\).

Zapisz obliczenia.

Przyjmijmy następujące oznaczenia: \(x\) - liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim, \(y\) - liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew iglastych oraz liczby \(y\) drzew liściastych, jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(\begin{cases} x + y = 198 \\ x + 18 = 3y \end{cases}\)

B. \(\begin{cases} x + y = 198 \\ 3x + 18 = y \end{cases}\)

C. \(\begin{cases} x + y = 198 \\ \frac{1}{3}x + 18 = y \end{cases}\)

D. \(\begin{cases} x + y = 198 \\ 3(x + 18) = y \end{cases}\)

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = 3x - 4\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja \(f\) jest rosnąca.

Prawda

Fałsz

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, 4)\).

Prawda

Fałsz

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = 2x^2 - kx + 6\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(k\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \((-11)\)

B. \((-7)\)

C. \(7\)

D. \(11\)

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\(f(x)= \begin{cases}\frac{4}{3} x+\frac{14}{3} & \text{ dla }\ x \in[-5,-2) \\ \frac{3}{4} x+\frac{3}{2} & \text{ dla }\ x \in[-2,2] \\ -3 x+9 & \text{ dla }\ x \in(2,4)\end{cases}\)

Wykres funkcji \(y = f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

\(\bold{1}\). \(\ \) Funkcja \(f\) ma dokładnie \(...............\) miejsca zerowe. \(\bold{2}\). \(\ \) Funkcja \(f\) osiąga największą wartość dla argumentu \(...............\) .

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\(f(x)= \begin{cases}\frac{4}{3} x+\frac{14}{3} & \text{ dla } x \in[-5,-2) \\ \frac{3}{4} x+\frac{3}{2} & \text{ dla } x \in[-2,2] \\ -3 x+9 & \text{ dla } x \in(2,4)\end{cases}\)

Wykres funkcji \(y = f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) na rysunku poniżej.

Kliknij, aby powiększyć

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W = (-3, 7)\).

Liczba \(t\) spełnia warunki: \(f(t) = f(-9)\) oraz \(t \ne -9\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba \(t\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\)

B. \(9\)

C. \(15\)

D. \(21\)

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W = (-3, 7)\).

Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) wzorem \(g(x) = f(x - 5)\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g\) ma współrzędne

Wybierz odpowiedź:

A. \((-8, 7) \)

B. \((-3, 2)\)

C. \((-3, 12)\)

D. \((2, 7)\)

Ciąg \((a_{n})\) jest określony następująco:

\(\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n + 1} = a_n - 6 \end{cases}\ \) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \((-4)\)

B. \((-16)\)

C. \((-22)\)

D. \((-28)\)

Ciąg \((a_{n})\) jest określony następująco:

\(\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n + 1} = a_n - 6 \end{cases}\ \) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.

Prawda

Fałsz

Ciąg \((a_n)\) jest malejący.

Prawda

Fałsz

Czterowyrazowy ciąg \(\left(7, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(54\).

Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pięciowyrazowy ciąg \((a_1 , a_2 , 2 , a_4 , a_5)\) jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn \(a_1 \cdot a_2 \cdot 2 \cdot a_4 \cdot a_5\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\)

B. \(16\)

C. \(32\)

D. \(64\)

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie \(\alpha\), że \(\sin \alpha=\frac{1}{4}\). Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość \(8\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(4\)

D. \(2\sqrt{15}\)

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego \(BCA\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(36\degree\)

B. \(60\degree\)

C. \(72\degree\)

D. \(81\degree\)

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek \(DE\) ma długość

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{8}{3}\)

B. \(\frac{16}{3}\)

C. \(6\)

D. \(8\)

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że \(|\measuredangle CAB| = 2 \cdot |\measuredangle ABE|\).

Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze \(\alpha\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(\left(-\frac{4}{5}\right)\)

B. \(\left(-\frac{3}{4}\right)\)

C. \(\frac{3}{4}\)

D. \(\frac{4}{5}\)

Oblicz współrzędne punktu \(S\). Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A = (-3, 1)\) oraz \(B = (1, -3)\) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód kwadratu \(ABCD\) jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(4\sqrt{2}\)

B. \(16\sqrt{2}\)

C. \(16\)

D. \(32\)

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) odcinek o końcach \(A = (1, 1)\) oraz \(B = (3, -1)\) jest średnicą okręgu \(\mathcal{O}\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem

Wybierz odpowiedź:

A. \((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 8\)

B. \(x^2 + (y - 2)^2 = 2\)

C. \((x - 2)^2 + y^2 = 2\)

D. \((x - 2)^2 + y^2 = 8\)

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość \(12\).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(2\sqrt{3}\)

B. \(3\sqrt{2}\)

C. \(2\sqrt{6}\)

D. \(6\sqrt{2}\)

Tworząca stożka o promieniu podstawy \(3\) ma długość \(6\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.

Prawda

Fałsz

Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60\degree\).

Prawda

Fałsz

Odcinek \(AD\) jest wysokością walca, a odcinek \(AB\) jest średnicą podstawy walca. Odcinek \(BD\) ma długość \(4\sqrt{3}\). Miara kąta \(ABD\) jest równa \(30\degree\).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

Wybierz odpowiedź:

A. \(400\)

B. \(500\)

C. \(900\)

D. \(1600\)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

Wybierz odpowiedź:

A. \(10\)

B. \(10{,}5\)

C. \(11\)

D. \(11{,}5\)

Kliknij, aby powiększyć

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(3\)

B. \(3{,}5\)

C. \(4\)

D. \(5\)

Dany jest sześcioelementowy zbiór \(K=\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}\). Ze zbioru \(K\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\).

Niech \(P(x)\) oznacza pole trójkąta \(DEF\) w zależności od długości \(x\) odcinka \(CF\).

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz wzór funkcji \(P\) zmiennej \(x\), gdzie \(x \in (0, 2)\). Oblicz długość \(x\) odcinka \(CF\), dla której pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Matura podstawowa matematyka czerwiec 2026: interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12.1

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12.2

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13.1

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13.2

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.1

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14.2

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 16

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 17

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 18

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 19

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 20

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 21

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 22

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 23

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 24

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 25

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 26

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 27

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 28

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 29

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 30

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 31

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 32