Dołącz do 59 392 kursantów. 98% z nich poleca nas znajomym.

Ładowanie arkusza egzaminacyjnego...

Ładowanie strony...

Matura podstawowa matematyka sierpień 2010 arkusz + PDF

Poprawkowy • CKE • sierpień 2010 • formuła 2002

Arkusz matura podstawowa z matematyki. Sprawdź odpowiedzi i rozwiązania, aby skutecznie przygotować się do egzaminu.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 1: Instrukcje dla zdających. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1–34). Rozwiązania wpisuj w miejscu na to przeznaczonym. Odpowiedzi do zadań zamkniętych (1–25) przenieś na kartę odpowiedzi. Pisz czytelnie, używaj długopisu lub pióra z czarnym tuszem. Nie używaj korektora, błędne zapisy przekreśl. Możesz korzystać z zestawu wzorów, cyrkla, linijki i kalkulatora. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 2: Zadanie 1: Cena towaru bez VAT wynosi 60 zł. Towar z VAT 22% kosztuje: A) 73,20 zł, B) 49,18 zł, C) 60,22 zł, D) 82 zł. Zadanie 2: Iloczyn 81²·9⁴ równy: A) 3⁴, B) 3⁰, C) 3¹⁶, D) 3¹⁴. Zadanie 3: Różnica log₃ 9 - log₃ 1 równa: A) 0, B) 1, C) 2, D) 3. Zadanie 4: Wskaż nierówność dla przedziału na osi liczbowej. Zadanie 5: Wyrażenie x(x-1)(x+1) równe: A) (x-1)³, B) x³-1, C) x³-x, D) x³. Zadanie 6: Kwadrat liczby x=2-√3 równy: A) 7-4√3, B) 7+4√3, C) 1, D) 7. Zadanie 7: Zbiór rozwiązań nierówności x(x+5)>0: A) (-∞,0)∪(5,∞), B) (-∞,-5)∪(0,∞), C) (-∞,-5)∪(5,∞), D) (-5,∞).

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 3: Brudnopis z siatką w kratkę, przeznaczony do notatek i obliczeń pomocniczych podczas rozwiązywania zadań egzaminacyjnych. Strona nie zawiera treści zadań.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 4: Zadanie 8: równanie $\frac{x^2-4}{(x-4)(x+4)}=0$, wybierz liczbę rozwiązań. Zadanie 9: wierzchołek paraboli $y=x^2+4x-13$ leży na prostej, wybierz równanie. Zadanie 10: wskaż $m$, dla którego funkcja $f(x)=(m-1)x+6$ jest rosnąca. Zadanie 11: wybierz wykres funkcji kwadratowej $f$, której zbiór wartości to $(-\infty, 3]$. Zadanie 12: wybierz wykres funkcji liniowej $y=ax+b$, gdzie $a>0$ i $b<0$. Zadanie 13: do wykresu $f(x)=\frac{a}{x}$ należy punkt $A=(2,6)$, wybierz $a$.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 5: Brudnopis, strona zawiera kratkowany arkusz do notatek i obliczeń, bez widocznych zadań egzaminacyjnych.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 6: Zadanie 14: w ciągu arytmetycznym mamy a2=5 i a4=11, oblicz a5. Zadanie 15: w malejącym ciągu geometrycznym mamy a1=-2 i a3=-4, iloraz ciągu jest równy. Zadanie 16: kąt α jest ostry i cos α=3/4, oblicz sin α. Zadanie 17: okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień 12, oblicz wysokość trójkąta. Zadanie 18: przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 11, bok AB jest o 5 krótszy, oblicz długość boku AD. Zadanie 19: punkty dzielą okrąg na 10 łuków, oblicz miarę kąta wpisanego BGE.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 7: Brudnopis, strona zawiera siatkę w kratkę do notatek i obliczeń pomocniczych, bez widocznych zadań ani treści egzaminacyjnych.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 8: Zadanie 20: Punkty A=(-1,3) i C=(-5,5) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe A) 10 B) 25 C) 50 D) 100. Zadanie 21: Okrąg o równaniu (x+2)²+(y-1)²=13 ma promień równy A) √13 B) 13 C) 8 D) 2√2. Zadanie 22: Prosta l ma równanie y=-1/4x+7. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej l. A) y=1/4x+1 B) y=-1/4x-7 C) y=4x-1 D) y=-4x+7. Zadanie 23: Objętość sześcianu jest równa 27 cm³. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu? A) 18 cm B) 36 cm C) 24 cm D) 12 cm. Zadanie 24: Graniastosłup ma 15 krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup? A) 10 B) 5 C) 15 D) 30. Zadanie 25: Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas A) p<0,3 B) p=0,3 C) p=0,4 D) p>0,4.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 9: Brudnopis. Strona zawiera pustą kratkowaną przestrzeń do notatek i obliczeń pomocniczych, bez widocznych zadań ani treści matematycznych.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 10: Zadanie 26: Rozwiąż nierówność $x^2 - 14x + 24 > 0$. Zadanie 27: Rozwiąż równanie $x^3 - 3x^2 + 2x - 6 = 0$.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 11: Zadanie 28: piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 26, a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 70. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zadanie 29: wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S = (4, -2) i przechodzącego przez punkt O = (0, 0).

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 12: Zadanie 30: wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A=(3,8), B=(1,2), C=(6,7) jest prostokątny. Zadanie 31: wykaż, że jeżeli a>0 i b>0 oraz √(a²+b)=√(a+b²), to a=b lub a+b=1.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 13: Zadanie 32: Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma liczb oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6 i iloczyn tych liczb jest nieparzysty.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 14 - Arkusz

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 15: Zadanie 34: Kolarz przejechał trasę długości 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o 1 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 16: Brudnopis, strona zawiera siatkę kratkowaną do roboczych obliczeń i notatek, bez widocznych zadań egzaminacyjnych.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 17: Strona zawiera tabelę odpowiedzi dla zadań 1-25, gdzie zdający zaznacza odpowiedzi A, B, C lub D. Po prawej stronie znajduje się tabela do wypełnienia przez egzaminatora, dotycząca sumy punktów za zadania 26-34. Na dole miejsce na kod zdającego i kod egzaminatora oraz czytelny podpis egzaminatora. Strona nie zawiera treści zadań matematycznych.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 1: Odpowiedzi do zadań zamkniętych: 1A, 2C, 3C, 4B, 5C, 6A, 7B, 8C, 9A, 10D, 11B, 12C, 13D, 14B, 15C, 16D, 17B, 18D, 19C, 20A, 21B, 22A, 23A, 24C, 25B. Zadanie 26 (2 pkt): Rozwiąż nierówność x²-14x+24>0. I sposób: obliczanie pierwiastków trójmianu kwadratowego, Δ=100, x₁=2, x₂=12. Alternatywnie: wzory Viete’a, zapis nierówności w postaci iloczynowej, szkic wykresu funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami zerowymi. Rozwiązanie: x∈(-∞,2)∪(12,∞).

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 2: Zadanie 1 (1 pkt): wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego lub zapis trójmianu w postaci iloczynowej. Zadanie 2 (2 pkt): podanie zbioru rozwiązań nierówności x<2 lub x>12, zapis na osi liczbowej, wykres. II sposób: zapisanie nierówności (x-7)²>25, stąd |x-7|>5, więc x<2 lub x>12. Zadanie 3 (1 pkt): doprowadzenie nierówności do postaci |x-7|>5. Zadanie 4 (2 pkt): podanie zbioru rozwiązań nierówności, wykres na osi liczbowej.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 3: Zadanie 27 (2 punkty): Rozwiązać równanie x³-3x²+2x-6=0. Rozwiązanie metodą grupowania wyrazów: x²(x-3)+2(x-3)=0 lub x(x²+2)-3(x²+2)=0, stąd (x-3)(x²+2)=0, wynik x=3. Schemat oceniania: 1 pkt za pogrupowanie wyrazów do postaci iloczynowej, 2 pkt za podanie rozwiązania x=3. Uwagi dotyczą punktacji za poprawne i błędne rozwiązania.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 4: Zadanie 27 (2 punkty): rozwiązanie równania wielomianowego przez dzielenie, W(3)=0, dzielenie przez x-3, otrzymane równanie (x-3)(x²+2)=0, x=3. Zadanie 28 (2 punkty): ciąg arytmetyczny, piąty wyraz 26, suma pięciu wyrazów 70, rozwiązanie układu równań, a₁=2, trzy sposoby rozwiązania: układ równań, wzór sumy, wypisanie wyrazów ciągu.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 5: Zadanie 29 (2 punkty): wyznaczenie równania okręgu o środku S=(4,-2) i przechodzącego przez O=(0,0). I sposób: zapis równania okręgu (x-4)²+(y+2)²=r², obliczenie promienia r=√20, równanie kanoniczne (x-4)²+(y+2)²=20, równanie ogólne x²+y²-8x+4y=0. Schemat oceniania: 1 pkt za zapis równania z wykorzystaniem środka.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 6: Zadanie 1 (2 pkt): błędne wyznaczenie promienia okręgu, równanie okręgu w postaci kanonicznej $(x-4)^2+(y+2)^2=12$ lub $(x+2)^2+(y-4)^2=20$. II sposób (2 pkt): odległość między punktami, równanie $(x-4)^2+(y+2)^2=r^2$, obliczenia $|OS|=\sqrt{(4-0)^2+(-2-0)^2}=\sqrt{20}$. Schemat oceniania (1 pkt): błędne interpretacje, równanie $(x+4)^2+(y-2)^2=20$.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 7: Zadanie 30 (2 punkty): Wykazanie, że trójkąt o wierzchołkach A=(3,8), B=(1,2), C=(6,7) jest prostokątny. I sposób: Twierdzenie Pitagorasa, obliczenie długości boków |AB|=2√10, |AC|=√10, |BC|=5√2, suma kwadratów boków |AB|²+|AC|²=|BC|². II sposób: Współczynniki kierunkowe prostych, a_AB=3, a_AC=1/3, a_BC=1, iloczyn współczynników -1, proste prostopadłe. Punktacja: 1 pkt za długości boków, 2 pkt za pełne rozumowanie.

$Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 8: Zadanie III: obliczanie współrzędnych wektorów $\overrightarrow{AB} = [-2, -6]$, $\overrightarrow{AC} = [3, -1]$, $\overrightarrow{BC} = [5, 5]$; iloczyn skalarny $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$, wnioskując, że trójkąt ABC jest prostokątny. Zadanie IV: obliczanie długości boków $|AB| = 2\sqrt{10}$, $|AC| = \sqrt{10}$, $|BC| = 5\sqrt{2}$; środek odcinka $BC$ jako środek okręgu opisanego na trójkącie.$

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 9: Zadanie 5 (2 pkt): wyznaczenie środka odcinka BC i obliczenie długości odcinka AS. Zadanie 6 (2 pkt): wykazanie, że BC jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie ABC i że trójkąt jest prostokątny. Sposób rozwiązania graficzny: zaznaczenie wierzchołków trójkąta A(3,8), B(1,2), C(6,7) na układzie współrzędnych. Obliczenia: |AB|=√40, |AC|=√10, |BC|=√50. Wykazanie prostokątności na podstawie rysunku.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 10: Zadanie 31 (2 punkty): wykazanie, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz √(a²+b) = √(a+b²), to a = b lub a + b = 1. Rozwiązanie: przekształcenie równania, zastosowanie wzoru skróconego mnożenia, a²+b = a+b², (a-b)(a+b-1) = 0, a = b lub a + b = 1. Elementy wizualne: szkic trójkąta na siatce z zaznaczonymi długościami boków. Punktacja: 1 pkt za poprawne przekształcenie, 2 pkt za pełne rozumowanie.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 11: Zadanie 32 (4 punkty): obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia przy rzucie dwiema kostkami, suma oczek większa od 6 i iloczyn nieparzysty. I sposób: klasyczna definicja prawdopodobieństwa, zdarzenia elementarne, |Ω|=36, A={(5,3),(3,5),(5,5)}, |A|=3, P(A)=1/12. II sposób: metoda drzewa, prawdopodobieństwo na odcinku 1/6, pogrubione gałęzie ilustrują zdarzenie.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 12: Zadanie 1 (4 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia za pomocą drzewa decyzyjnego, pogrubione gałęzie na rysunku, prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 1/12. Schemat oceniania: 1 pkt za narysowanie drzewa, 2 pkt za zapisanie prawdopodobieństwa na gałęziach, 3 pkt za wskazanie właściwych gałęzi, 4 pkt za pełne rozwiązanie. Uwagi dotyczące błędów w obliczeniach i zapisach.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 13: Zadanie 33 (4 punkty): Obliczenie pola trójkąta ABF w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym ABCDEF. I sposób: Wysokość SC=5√3, twierdzenie Pitagorasa dla SCF, h=√196=14, pole P=½·AB·h=70. Rysunek graniastosłupa z zaznaczonym trójkątem ABF. Schemat oceniania: 1 pkt za rysunek, 2 pkt za obliczenie SC lub b, 3 pkt za h=14, 4 pkt za P=70.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 14: Zadanie 1: narysowanie graniastosłupa i zaznaczenie na rysunku trójkąta ABF. Zadanie 2: obliczenie długości przekątnej ściany bocznej b=√221. Zadanie 3: obliczenie połowy obwodu trójkąta ABF, p=5+√221. Zadanie 4: obliczenie pola trójkąta ABF wzorem Herona, P=70. Schemat oceniania: różne etapy rozwiązania z punktacją od 1 do 4 punktów. Zadanie 5: obliczenie pola trójkąta ABF wzorem P=b²sin∠AFB/2, P=70.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 15: Schemat oceniania zawiera obliczenia długości przekątnej b=√221 i sinusa kąta AFB=140/221. Zadanie 34 (5 pkt): rozwiązanie problemu z kolarzem, który przejechał 60 km. Użyto układu równań: 60=vt, 60=(v+1)(t-0,1). Obliczenia prowadzą do równania kwadratowego v²+v-60=0, Δ=2401, v₁=24, v₂=-25. Wynik: v=24 km/h.

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 16: Zadanie (v>0, t>0): obliczanie średniej prędkości kolarza, v=60/2,5=24. Schemat oceniania: różne formy zapisu równania z niewiadomymi v i t, np. 60=(v+1)(t-0,1) lub v+1=60/(t-0,1). Uwagi dotyczące przyznawania punktów za postęp w rozwiązaniu, np. 1 pkt za niewielki postęp, 2 pkt za istotny postęp, 3 pkt za pokonanie trudności. Rozwiązanie z błędami rachunkowymi, np. 60=(v+1)(60/v-0,1).

Matematyka, matura podstawowa, sierpień 2010, CKE - strona 17: Zadanie 5 (5 pkt): rozwiązanie równania 60/t + 1 = 60/(t-0,1) lub t - 0,1 = 60/(60/t + 1), błędne obliczenia prowadzące do t = -2,4 h lub t = 2,5 h. Uwagi dotyczące przekształcenia równania do kwadratowego: v² + v - 600 = 0 lub t² - 0,1t - 6 = 0. Rozwiązanie błędne, obliczenie średniej prędkości kolarza: v = 24 km/h.