Matura rozszerzona z matematyki czerwiec 2021: arkusz + PDF

Wartość wyrażenia \(\Big(\big(\sqrt{3} - 1\big)^2 - \big(\sqrt{3} + 1\big)^2\Big)^3\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(512\)

B. \(0\)

C. \(-24 \sqrt{3}\)

D. \(-192 \sqrt{3}\)

Granice \(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{an^2 + bn + 4}{n + 1}\ \) i \(\ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n + 1}{an^2 + bn + 4}\) są równe. Stąd wynika, że

Wybierz odpowiedź:

A. \(a = 0\ \) i \(\ b = 0\)

B. \(|a| = 1\ \) i \(\ b = 0\)

C. \(|a| = 1\ \) i \(\ |b| = 1\)

D. \(a = 0\ \) i \(\ |b| = 1\)

Wektory \(\vec{a} = [m - 2, m + 2]\) oraz \(\vec{b} = [m^{1.5}, 2^{1.5}]\) mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

Wybierz odpowiedź:

A. \(m = 0\ \) lub \(\ m = 4\)

B. \(m = 0\ \) lub \(\ m = 2\)

C. \(m = 2\)

D. \(m = 2\ \) lub \(\ m = 4\)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).

Kliknij, aby powiększyć

Wybierz odpowiedź:

A. \(f(x) = 2 \sin (2x)\)

B. \(f(x) = 2 \pi \cdot \sin (2x)\)

C. \(f(x) = 2 \sin (\frac{x}{2})\)

D. \(f(x) = 2 \pi \cdot \sin (\frac{x}{2})\)

Wynikiem dzielenia wielomianu \(5x^3 - 7x^2 - 4x - 4\) przez dwumian \(x - 2\) jest trójmian kwadratowy postaci \(ax^2 + bx + c\).

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).

Niech \(\log_2 9 = c\). Wykaż, że \(\log_3 54 = \frac{3c + 2}{c}\).

Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) tego trójkąta obrano punkty \(D\), \(E\) i \(F\) tak, że \(|AD| = |DE| = |EF| = 2|FB|\). Na bokach \(AC\) i \(BC\) obrano - odpowiednio - punkty \(G\) i \(H\) tak, że \(DG \parallel EC\) oraz \(FH \parallel EC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta \(FBH\) jest równe \(S\), to pole trójkąta \(ADG\) jest równe \(3S\).

Kliknij, aby powiększyć

Rozwiąż równanie \(2 \cos^2 x - \cos x = \sin (2x) - \sin x\) w przedziale \(\langle 0, 2 \pi \rangle\).

Dane są prosta \(k\) o równaniu \(x - 2y = 0\) i prosta \(l\) o równaniu \(2x + y - 1 = 0\). Punkt \(P\) leży na prostej o równaniu \(y = x + 4\). Odległość punktu \(P\) od prostej \(k\) jest dwa razy większa niż odległość punktu \(P\) od prostej \(l\). Oblicz współrzędne punktu \(P\).

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(2\). Punkt \(S\) jest środkiem krawędzi \(DH\) (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta \(CFS\).

Kliknij, aby powiększyć

W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe \(\frac{1}{15}\). Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie

\((x - 3)(x^2 + (m - 1)x - 6m^2 + 2m) = 0\)

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x) = \frac{x^3 + k}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 0\).

Oblicz wartość \(k\), dla której prosta o równaniu \(y = -x\) jest styczna do wykresu funkcji \(f\).

Na okręgu jest opisany czworokąt \(ABCD\). Bok \(AD\) tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku \(AB\), a przekątna \(BD\) ma długość równą \(6\). Ponadto spełnione są następujące warunki:

\(\cos (\measuredangle ADB) = \frac{7}{8}\), \(|\measuredangle BCD| = 90 \degree\) oraz \(|AB| > \sqrt{15}\).

Oblicz długość boku \(BC\) tego czworokąta.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(AB\) i obwodzie równym \(4\). Niech \(x = |AC|\).

a) Wykaż, że pole \(P\) trójkąta \(ABC\) jako funkcja zmiennej \(x\) jest określone wzorem

\(P(x) = \frac{x (4 - 2x)}{4 - x}\)

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P\).

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Wartość wyrażenia \(\Big(\big(\sqrt{3} - 1\big)^2 - \big(\sqrt{3} + 1\big)^2\Big)^3\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(512\)

B. \(0\)

C. \(-24 \sqrt{3}\)

D. \(-192 \sqrt{3}\)

Granice \(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{an^2 + bn + 4}{n + 1}\ \) i \(\ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n + 1}{an^2 + bn + 4}\) są równe. Stąd wynika, że

Wybierz odpowiedź:

A. \(a = 0\ \) i \(\ b = 0\)

B. \(|a| = 1\ \) i \(\ b = 0\)

C. \(|a| = 1\ \) i \(\ |b| = 1\)

D. \(a = 0\ \) i \(\ |b| = 1\)

Wektory \(\vec{a} = [m - 2, m + 2]\) oraz \(\vec{b} = [m^{1.5}, 2^{1.5}]\) mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

Wybierz odpowiedź:

A. \(m = 0\ \) lub \(\ m = 4\)

B. \(m = 0\ \) lub \(\ m = 2\)

C. \(m = 2\)

D. \(m = 2\ \) lub \(\ m = 4\)

Kliknij, aby powiększyć

Wybierz odpowiedź:

A. \(f(x) = 2 \sin (2x)\)

B. \(f(x) = 2 \pi \cdot \sin (2x)\)

C. \(f(x) = 2 \sin (\frac{x}{2})\)

D. \(f(x) = 2 \pi \cdot \sin (\frac{x}{2})\)

Wynikiem dzielenia wielomianu \(5x^3 - 7x^2 - 4x - 4\) przez dwumian \(x - 2\) jest trójmian kwadratowy postaci \(ax^2 + bx + c\).

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).

Niech \(\log_2 9 = c\). Wykaż, że \(\log_3 54 = \frac{3c + 2}{c}\).

Kliknij, aby powiększyć

Rozwiąż równanie \(2 \cos^2 x - \cos x = \sin (2x) - \sin x\) w przedziale \(\langle 0, 2 \pi \rangle\).

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(2\). Punkt \(S\) jest środkiem krawędzi \(DH\) (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta \(CFS\).

Kliknij, aby powiększyć

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie

\((x - 3)(x^2 + (m - 1)x - 6m^2 + 2m) = 0\)

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x) = \frac{x^3 + k}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 0\).

Oblicz wartość \(k\), dla której prosta o równaniu \(y = -x\) jest styczna do wykresu funkcji \(f\).

\(\cos (\measuredangle ADB) = \frac{7}{8}\), \(|\measuredangle BCD| = 90 \degree\) oraz \(|AB| > \sqrt{15}\).

Oblicz długość boku \(BC\) tego czworokąta.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(AB\) i obwodzie równym \(4\). Niech \(x = |AC|\).

a) Wykaż, że pole \(P\) trójkąta \(ABC\) jako funkcja zmiennej \(x\) jest określone wzorem

\(P(x) = \frac{x (4 - 2x)}{4 - x}\)

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P\).

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2021: interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka czerwiec 2021: interaktywny arkusz + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie