Dołącz do 61 564 kursantów. 98% z nich poleca nas znajomym.

Matura rozszerzona matematyka kwiecień 2020 arkusz + PDF

Próbny • CKE • kwiecień 2020 • formuła 2015

Arkusz matura rozszerzona z matematyki. Pobierz materiały egzaminacyjne w formacie PDF.

Zajrzyj do naszego kursu z matematyki, z którym osiągniesz swój wymarzony wynik na egzaminie. Ucz się gdzie chcesz i kiedy chcesz!

@matematykagryzieZaobserwuj nasze profile na social mediach i zyskuj wiele cennych, darmowych materiałów!

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 1: Strona tytułowa arkusza egzaminacyjnego. Zawiera informacje o egzaminie: data - kwiecień 2020, czas pracy - 180 minut, liczba punktów do uzyskania - 50. Instrukcje dla zdającego obejmują m.in. sprawdzenie liczby stron, sposób zapisu rozwiązań, użycie czarnego tuszu, zakaz używania korektora oraz możliwość korzystania z wybranych wzorów matematycznych i kalkulatora prostego. Miejsce na kod i PESEL zdającego oraz miejsce na naklejkę.

$Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 2: Zadanie 1: Niech $ L = \log_{\sqrt{2}} 2 \cdot \log_2 \sqrt{3} \cdot \log_{\sqrt{5}} 4 $. Wtedy A) $ L = 1 $, B) $ L = 2 $, C) $ L = 3 $, D) $ L = 4 $. Zadanie 2: Okrąg o równaniu $ (x-3)^2 + (y+7)^2 = 625 $ jest styczny do okręgu o środku $ S = (12,5) $ i promieniu $ r $. Wynika stąd, że A) $ r = 5 $, B) $ r = 15 $, C) $ r = 10 $, D) $ r = 20 $. Zadanie 3: Liczba $ \sqrt{(1-\sqrt{2})^2} + \sqrt{(2-\sqrt{2})^2} $ jest równa A) 1, B) -1, C) $ 3-2\sqrt{2} $, D) $ 2\sqrt{2}+1 $. Zadanie 4: Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite. A) $ \frac{3}{4}x+5<2 $, B) $ \frac{4}{3}x+5<2 $, C) $ \frac{3}{5}x+4<2 $, D) $ \frac{4}{5}x+3<2 $.$

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 3: Brudnopis (nie podlega ocenie), strona zawiera kratkowaną przestrzeń do notatek, bez widocznych zadań.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 4: Zadanie 5: Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(x) = x²/(x-1), określonej dla x ≠ 1, w punkcie A = (6, 36/5). Wpisz cyfry rozwinięcia dziesiętnego wyniku w kratki. Brudnopis z siatką nie podlega ocenie.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 5: Zadanie 6: W trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC. Wykaż, że prawdziwa jest równość |BC|² - |AC|² = |AB| · |AC|.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 6: Zadanie 7: Udowodnij, że dla dowolnego kąta α należącego do przedziału (0, π/2) prawdziwa jest nierówność sin(π/12 - α) * cos(π/12 + α) < 1/4.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 7: Zadanie 8: wykaż, że równanie x⁸ + x² = 2(x⁴ + x − 1) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x = 1.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 8: Zadanie 9: Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru {0, 1, 3, 5, 7, 9}, losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa 3.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 9: Zadanie 10: Dany jest rosnący ciąg geometryczny (a, aq, aq²), którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz aq tego ciągu.

$Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 10: Zadanie 11: Dany jest nieskończony ciąg okręgów $ (o_n) $ o równaniach $ x^2 + y^2 = 2^{11-n} $, $ n \geq 1 $. Niech $ P_k $ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $ o_{2k-1} $ i wewnętrznym okręgiem $ o_{2k} $. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $ P_k $, gdzie $ k \geq 1 $.$

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 11: Zadanie 12: Trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu. Ramię BC ma długość 10, a ramię AD jest wysokością trapezu. Podstawa AB jest 2 razy dłuższa od podstawy CD. Oblicz pole tego trapezu.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 12: Pusta strona z siatką do rysowania i miejscem na odpowiedź. Na dole tabelka do wypełnienia przez egzaminatora z informacjami: Nr zadania 12, Maks. liczba pkt 5, Uzyskana liczba pkt.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 13: Zadanie 13: Wierzchołki A i B trójkąta prostokątnego ABC leżą na osi Oy układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków AB, BC i CA w punktach odpowiednio P=(0,10), Q=(8,6) i R=(9,13). Oblicz współrzędne wierzchołków A, B i C tego trójkąta.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 14: Strona zawiera kratkowaną przestrzeń do zapisania odpowiedzi do Zadania 13. W dolnej części strony znajduje się tabela do wypełnienia przez egzaminatora z informacjami: numer zadania 13, maksymalna liczba punktów 5, uzyskana liczba punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 15: Zadanie 14: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² - 3mx + (m+1)(2m-1) = 0 ma dwa różne rozwiązania x₁, x₂ spełniające warunki: x₁, x₂ ≠ 0 oraz 0 < 1/x₁ + 1/x₂ ≤ 2/3.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 16: Strona zawiera miejsce na odpowiedź do zadania 14. Brak treści zadania, widoczna jedynie siatka do rysowania oraz tabela do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania 14, maksymalną liczbą punktów 6 i miejscem na uzyskaną liczbę punktów.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 17: Zadanie 15: Rozpatrujemy drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek o kształcie prostopadłościanu z podstawą kwadratu o boku długości x. Wymiary szkielety: wysokość 6, długość 10-2x. a) Wyznacz objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x. b) Wyznacz dziedzinę funkcji V. c) Oblicz wartość x, dla której szkielet jest najcięższy, czyli gdy funkcja V osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 18: Strona zawiera siatkę do rysunków i tabelę do wypełnienia przez egzaminatora z numerem zadania 15, maksymalną liczbą punktów 7 oraz polem na uzyskaną liczbę punktów. Brak treści zadań.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 19: Strona zawiera nagłówek "BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)" i jest pusta, przeznaczona na notatki lub obliczenia pomocnicze.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 20: Brudnopis (nie podlega ocenie). Strona nie zawiera zadań ani treści do analizy.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 2: Klucz punktowania zadań zamkniętych: Zadania 1-4, odpowiedzi: D, C, A, B. Zadanie 5 (0 pkt): kodowane, odpowiedź: 096. Zadanie 6 (0-3 pkt): w trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC, wykazanie równości BC²-AC²=AB·AC. Rozwiązanie: oznaczenia boków, dwusieczna AD, rysunek trójkąta z oznaczeniami α, 2α, a, b, c, x.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 3: Zadanie 4: dowód podobieństwa trójkątów ABC i DAC, wykorzystanie proporcji boków |AC|/|BC|, |CD|/|AC| oraz |AC|/|AB|, |CD|/|AD|, wyprowadzenie równości b²=ax, przekształcenie do b²=a·(ab)/(b+c), końcowy wynik a²-b²=bc. Zadanie oceniane: 1 pkt za istotny postęp, 2 pkt za pokonanie trudności, 3 pkt za pełne rozwiązanie.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 4: Zadanie 4: dowód geometryczny z wykorzystaniem twierdzenia sinusów i cosinusów. Oznaczenia: |SACB|=α, |SABC|=a, |BC|=b, |AC|=b, |AB|=c. Rozwiązanie obejmuje przekształcenia algebraiczne prowadzące do równania a²-b²=bc. Szkic trójkąta z oznaczeniami boków i kątów. Kluczowe kroki: wyprowadzenie równania z twierdzenia sinusów, przekształcenia algebraiczne, końcowy dowód równania. Punktacja: 1 pkt za istotny postęp w rozwiązaniu.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 5: Zadanie 7 (0–3 pkt): Udowodnij, że dla kąta α ∈ (0, π/2) prawdziwa jest nierówność sin(π/12 - α)·cos(π/12 + α) < 1/4. Rozwiązanie (I sposób): Mnożenie nierówności przez 2, użycie wzoru na sinus różnicy kątów, końcowy wynik sin 2α > 0. Rozwiązanie (II sposób): Wzór na sinus różnicy i cosinus sumy kątów, końcowy wynik sin α cos α > 0. Nierówność prawdziwa dla α ∈ (0, π/2).

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 6: Rozwiązanie (III sposób) dla nierówności trygonometrycznych. Zadanie: udowodnienie nierówności dla α ∈ (0, π/2). Kluczowe kroki: analiza funkcji sinus i cosinus w przedziałach, zastosowanie nierówności trygonometrycznych. Wynik: uzasadnienie prawdziwości nierówności. Schemat oceniania: istotny postęp (1 pkt), pokonanie trudności (2 pkt), rozwiązanie pełne (3 pkt). Brak elementów wizualnych.

$Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 7: Zadanie 8 (0-3): wykazanie, że równanie $x^8 + x^2 = 2(x^4 + x - 1)$ ma jedno rozwiązanie rzeczywiste $x = 1$. Rozwiązanie: przekształcenie równania do $(x^4 - 1)^2 + (x - 1)^2 = 0$, co prowadzi do $x^4 - 1 = 0$ i $x - 1 = 0$. Wynik: $x = 1$. Zadanie 9 (0-4): obliczenie prawdopodobieństwa, że suma cyfr wylosowanej liczby ośmiocyfrowej wynosi 3. Rozwiązanie: analiza zbioru liczb i warunków, wynik: liczba spełniająca warunek to 1.$

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 8: Zadanie 9 (4 pkt): obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A, liczba zdarzeń elementarnych |Ω|=5·6⁷, liczba zdarzeń sprzyjających |A|=1+(7 2)=22, P(A)=22/(5·6⁷)≈0,00001571. Zadanie 10 (0–4): ciąg geometryczny (a, aq, aq²), przekształcenie do ciągu arytmetycznego, równanie -aq²+2aq-a=-4, obliczenie wyrazu aq.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 9: Zadanie 11 (0–4): dany ciąg okręgów o równaniach x²+y²=2¹¹⁻ⁿ, n≥1. Oblicz sumę pól pierścieni Pₖ. Rozwiązanie: promień r=(√2)¹¹⁻ⁿ, promień pierwszego okręgu r₁=2⁵, drugiego r₂=2³. Pole pierwszego pierścienia P₁=π·2¹⁰-π·2⁹, drugiego P₂=π·2⁸-π·2⁷. Pₖ=π·2¹²⁻²ₖ-π·2¹¹⁻²ₖ. Ciąg geometryczny z ilorazem q=1/4, suma S=π·2⁹/3.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 10: Schemat oceniania dla zadania z pierścieniami geometrycznymi, różne poziomy postępu: 1-4 pkt, obliczenia sumy pól pierścieni. Zadanie 12 (0-5 pkt): trapez prostokątny opisany na okręgu, ramię BC=10, podstawa AB=2·CD, obliczanie pola trapezu, rysunek trapezu z oznaczeniami: A, B, C, D, E, b, h, d, a.

Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 11: Zadanie 1: rozwiązanie równania z jedną niewiadomą b, b²+(3b-10)²=100, b=6, h=8. Obliczenie pola trapezu P_ABCD=(a+b)/2*h=72. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów BCE i ABD. Obliczenia: d=4√13. Schemat oceniania: różne etapy rozwiązania, od zapisu zależności do pełnego rozwiązania z obliczeniem pola trapezu. Punktacja za różne etapy rozwiązania: 1-5 punktów.

$Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 12: Zadanie 13 (0-5 pkt): Obliczanie współrzędnych wierzchołków trójkąta ABC. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej PR: $a_{PR}=\frac{1}{3}$, środek E: $E=(\frac{9}{2}, \frac{23}{2})$. Równanie prostej: $y=-3x+25$, punkt B: $B=(0,25)$. Współczynnik kierunkowy prostej PQ: $a_{PQ}=-\frac{1}{2}$, środek D: $D=(4,8)$. Równanie prostej: $y=2x$, punkt A: $A=(0,0)$.$

$Matematyka, matura rozszerzona, kwiecień 2020, CKE - strona 13: Zadanie 4: obliczenie współrzędnych wierzchołka C metodą przecięcia prostych AQ i BR. Równanie AQ: $y=\frac{3}{4}x$, BR: $y=-\frac{4}{3}x+25$. Punkt przecięcia C=(12,9). Sposób II: równanie prostej AQ i symetralnej QR, współczynnik kierunkowy $a_{QR}=7$, środek F=(8.5, 9.5). Szkic geometryczny z zaznaczonymi punktami i prostymi.$