Matura rozszerzona z matematyki marzec 2021: arkusz próbny

Liczba \(\log_2 9\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{\log_3 4}\)

B. \(\log_3 4\)

C. \(\frac{1}{\log_3 \sqrt{2}}\)

D. \(\log_3 \sqrt{2}\)

Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest \(10\) kul: \(8\) białych i \(2\) czarne, w drugiej jest \(8\) kul: \(5\) białych i \(3\) czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{2}{18}\)

B. \(\frac{15}{23}\)

C. \(\frac{8}{23}\)

D. \(\frac{5}{18}\)

Prosta dana równaniem \(y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}\) jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji \(f(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + x + 5\) w punkcie

Wybierz odpowiedź:

A. \((-1, 6)\)

B. \((0, 5)\)

C. \((1, 5)\)

D. \((2, 3)\)

Liczba \(x\) jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(1\) i ilorazie \(\frac{1}{\sqrt{3}}\). Liczba \(y\) jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(1\) i ilorazie \(\Big(-\frac{1}{\sqrt{3}}\Big)\).

Wynika stąd, że liczba \(x - y\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(0\)

B. \(\sqrt{3}\)

C. \(\frac{2}{\sqrt{3} - 1}\)

D. \(3\)

Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa \(13\) i żadna cyfra nie jest zerem.

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Wpisz odpowiedź liczbową:

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) większej od \(2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(5x^2 - 6xy + 3y^2 - 2x - 4 > 0\).

Rozwiąż równanie:

\(\sin \big(x + \frac{1}{4} \pi\big) \cdot \cos \big(x + \frac{1}{4} \pi\big) = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

Na przeciwprostokątnej \(AB\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) zbudowano kwadrat \(ABDE\) (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy \(k\).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa \(\frac{1}{2k}\).

Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o promieniu \(R = 5 \sqrt{2}\). Przekątna \(BD\) tego czworokąta ma długość \(10\). Kąty wewnętrzne \(BAD\) i \(ADC\) czworokąta \(ABCD\) są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy \(\frac{3}{8}\). Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Reszty z dzielenia wielomianu \(W(x) = x^4 + bx^3 + cx^2\) przez dwumiany \((x - 2)\) i \((x - 3)\) są odpowiednio równe \((-8)\) oraz \((-18)\). Oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \((x - 4)\).

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\). Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość \(4\), a wysokość graniastosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz sinus kąta \(AFB\).

Czterowyrazowy ciąg \((a, b, c, d)\) jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg \((a + 100, b, c)\) jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu \((a, b, c, d)\).

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: \(y = x + b\), \(y = x + 2b\), \(y = b\), \(y = 2\), gdzie liczba rzeczywista \(b\) spełnia warunki: \(b \neq 2\) i \(b \neq 0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(b\), dla których pole tego równoległoboku jest równe \(1\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(x^2 - 2ax + a^3 - 2a = 0\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty \(ABC\), których wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą na wykresie funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x) = \frac{9}{x^4}\) dla \(x \neq 0\). Punkt \(C\) ma współrzędne \(\big(0, -\frac{1}{3}\big)\), a punkty \(A\) i \(B\) są położone symetrycznie względem osi \(Oy\) (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków \(A\) i \(B\), dla których pole trójkąta \(ABC\) jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Kliknij, aby powiększyć

Liczba \(\log_2 9\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{1}{\log_3 4}\)

B. \(\log_3 4\)

C. \(\frac{1}{\log_3 \sqrt{2}}\)

D. \(\log_3 \sqrt{2}\)

Wybierz odpowiedź:

A. \(\frac{2}{18}\)

B. \(\frac{15}{23}\)

C. \(\frac{8}{23}\)

D. \(\frac{5}{18}\)

Prosta dana równaniem \(y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}\) jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji \(f(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + x + 5\) w punkcie

Wybierz odpowiedź:

A. \((-1, 6)\)

B. \((0, 5)\)

C. \((1, 5)\)

D. \((2, 3)\)

Wynika stąd, że liczba \(x - y\) jest równa

Wybierz odpowiedź:

A. \(0\)

B. \(\sqrt{3}\)

C. \(\frac{2}{\sqrt{3} - 1}\)

D. \(3\)

Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa \(13\) i żadna cyfra nie jest zerem.

Wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Wpisz odpowiedź liczbową:

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) większej od \(2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \(5x^2 - 6xy + 3y^2 - 2x - 4 > 0\).

Rozwiąż równanie:

\(\sin \big(x + \frac{1}{4} \pi\big) \cdot \cos \big(x + \frac{1}{4} \pi\big) = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

Na przeciwprostokątnej \(AB\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) zbudowano kwadrat \(ABDE\) (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy \(k\).

Kliknij, aby powiększyć

Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa \(\frac{1}{2k}\).

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\). Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość \(4\), a wysokość graniastosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek).

Kliknij, aby powiększyć

Oblicz sinus kąta \(AFB\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(x^2 - 2ax + a^3 - 2a = 0\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Kliknij, aby powiększyć

Matura rozszerzona matematyka marzec 2021: interaktywny arkusz próbny + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 15

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Odpowiedzi

Matura rozszerzona matematyka marzec 2021: interaktywny arkusz próbny + PDF

Zadania interaktywne do rozwiązania online

Zadanie 1

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 2

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 3

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 4

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 5

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 6

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 7

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 8

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 9

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 10

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 11

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 12

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 13

Sprawdź swoje rozwiązanie

Obejrzyj rozwiązanie

Zadanie 14