Potęgi i pierwiastki - notatka i zadania szkoła średnia

Mnożysz potęgi o tej samej podstawie, więc dodajesz wykładniki.

$$3^5 \cdot 3^7 = 3^{5+7}$$

$$= 3^{12}$$

Odpowiedź: A.

Dzielisz potęgi o tej samej podstawie, więc odejmujesz wykładniki.

$$2^{20} : 2^5 = 2^{20-5}$$

$$= 2^{15}$$

Odpowiedź: B.

Potęgę podnosisz do potęgi, więc mnożysz wykładniki.

$$(5^3)^4 = 5^{3 \cdot 4}$$

$$= 5^{12}$$

Odpowiedź: C.

Zapisz obie liczby jako potęgi dwójki: $4 = 2^2$ i $8 = 2^3$.

$$4^6 \cdot 8^3 = (2^2)^6 \cdot (2^3)^3$$

$$= 2^{12} \cdot 2^{9}$$

$$= 2^{21}$$

Odpowiedź: D.

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną.

$$2^{-3} = \frac{1}{2^3}$$

$$= \frac{1}{8}$$

Odpowiedź: C.

Odwracasz ułamek i zmieniasz znak wykładnika na dodatni.

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

$$= \frac{9}{4}$$

Odpowiedź: A.

Sprowadź obie liczby do podstawy $3$: $9 = 3^2$ i $27 = 3^3$.

$$9^4 \cdot 27^{-2} = (3^2)^4 \cdot (3^3)^{-2}$$

$$= 3^{8} \cdot 3^{-6}$$

$$= 3^{2}$$

Odpowiedź: D.

Sprowadź wszystko do podstawy $5$: $25 = 5^2$ i $125 = 5^3$.

$$\frac{25^3 \cdot 5^{-4}}{125} = \frac{5^{6} \cdot 5^{-4}}{5^{3}}$$

$$= \frac{5^{2}}{5^{3}}$$

$$= 5^{-1}$$

Odpowiedź: B.

Masz trzy takie same składniki, więc to $3 \cdot 3^{20}$. Przy dodawaniu potęg wykładników nie dodajesz.

$$3^{20} + 3^{20} + 3^{20} = 3 \cdot 3^{20}$$

$$= 3^{21}$$

Odpowiedź: C.

Wyłącz przed nawias najmniejszą potęgę, czyli $2^{28}$.

$$2^{30} - 2^{28} = 2^{28} \cdot (2^2 - 1)$$

$$= 2^{28} \cdot 3$$

Odpowiedź: A.

Zapisz $4^{12}$ jako potęgę dwójki i podziel przez $2$.

$$4^{12} = (2^2)^{12}$$

$$= 2^{24}$$

$$2^{24} : 2 = 2^{23}$$

Odpowiedź: D.

Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny.

$$\sqrt{144} = 12$$

$$\sqrt[3]{-27} = -3$$

$$12 - (-3) = 15$$

Odpowiedź: B.

Pierwiastki drugiego stopnia mnożysz pod jednym pierwiastkiem.

$$\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{144}$$

$$= 12$$

Odpowiedź: C.

Rozłóż $75$ tak, żeby jeden czynnik był kwadratem liczby: $75 = 25 \cdot 3$.

$$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3}$$

$$= 5\sqrt{3}$$

Odpowiedź: A.

Wyłącz czynniki przed pierwiastki. Wtedy w każdym składniku zostaje $\sqrt{2}$.

$$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

$$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

$$5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

Odpowiedź: D.

Szukasz sześcianów liczb: $54 = 27 \cdot 2$ i $16 = 8 \cdot 2$.

$$\sqrt[3]{54} = 3\sqrt[3]{2}$$

$$\sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}$$

$$3\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2}$$

Odpowiedź: B.

Korzystasz ze wzoru $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, gdzie $a = \sqrt{5}$ i $b = 2$.

$$(\sqrt{5} - 2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4$$

$$= 9 - 4\sqrt{5}$$

Odpowiedź: C.

Korzystasz ze wzoru $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, gdzie $a = 2\sqrt{3}$ i $b = 1$.

$$(2\sqrt{3} - 1)(2\sqrt{3} + 1) = (2\sqrt{3})^2 - 1^2$$

$$= 12 - 1$$

$$= 11$$

Odpowiedź: D.

Mnożysz licznik i mianownik przez $\sqrt{3}$.

$$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3}$$

$$= 2\sqrt{3}$$

Odpowiedź: B.

Mnożysz licznik i mianownik przez $\sqrt{5} + 2$, żeby skorzystać ze wzoru $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$$\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}$$

$$= \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4}$$

$$= \sqrt{5} + 2$$

Odpowiedź: A.

Mnożysz licznik i mianownik przez $3 - \sqrt{5}$.

$$\frac{4}{3 + \sqrt{5}} = \frac{4(3 - \sqrt{5})}{9 - 5}$$

$$= \frac{4(3 - \sqrt{5})}{4}$$

$$= 3 - \sqrt{5}$$

Odpowiedź: C.

Mianownik wykładnika to stopień pierwiastka, a licznik to potęga.

$$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2$$

$$= 2^2$$

$$= 4$$

Odpowiedź: D.

Minus w wykładniku daje odwrotność, a mianownik $3$ to pierwiastek trzeciego stopnia.

$$27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}}$$

$$= \frac{1}{3}$$

Odpowiedź: A.

Stopień pierwiastka idzie do mianownika wykładnika, a potęga pod pierwiastkiem do licznika.

$$\sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}$$

Odpowiedź: B.

Policz każdą potęgę osobno, a potem wykonaj działania.

$$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4}$$

$$= 2$$

$$8^{\frac{2}{3}} = 4$$

$$16^{\frac{1}{4}} = 2$$

$$2 \cdot 4 : 2 = 4$$

Odpowiedź: C.

Zamień pierwiastki na potęgi i dodaj wykładniki.

$$\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$$

$$= 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$$

$$= 2^{\frac{5}{6}}$$

Odpowiedź: D.

Przesuwasz przecinek o $4$ miejsca w prawo, żeby przed nim stała jedna cyfra od $1$ do $9$.

$$0{,}00052 = 5{,}2 \cdot 10^{-4}$$

Odpowiedzi B i D mają tę samą wartość, ale to nie jest notacja wykładnicza: liczby $52$ i $0{,}52$ nie są między $1$ a $10$.

Odpowiedź: A.

Mnożysz liczby przed $10$ i dodajesz wykładniki.

$$4 \cdot 3 = 12$$

$$10^{5} \cdot 10^{-8} = 10^{-3}$$

$$12 \cdot 10^{-3} = 1{,}2 \cdot 10^{-2}$$

Odpowiedź A ma dobrą wartość, ale $12$ nie jest między $1$ a $10$.

Odpowiedź: C.

Najpierw liczysz nawias, dopiero potem odwrotność.

$$2^{-2} + 2^{-1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$$

$$= \frac{3}{4}$$

$$\left(\frac{3}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{3}$$

Odpowiedź: B.

Pod pierwiastkiem dodajesz dwie takie same potęgi.

$$2^{10} + 2^{10} = 2 \cdot 2^{10}$$

$$= 2^{11}$$

$$\sqrt{2^{11}} = \sqrt{2^{10} \cdot 2}$$

$$= 2^{5}\sqrt{2}$$

$$= 32\sqrt{2}$$

Odpowiedź: D.